Gleichungen
Ein Gleichung sind zwei Ausdrücke mit einem Gleichheitszeichen dazwischen. Die drei binomischen Formeln wären Beispiele für Gleichungen. Gleichungen können in andere Gleichungen umgeformt werden die die selben Lösungen haben. Dies kann sehr praktisch sein um die Lösung von Gleichungen zu bestimmen. Hierbei ist wichtig, dass auf beiden Seiten der Gleichung das selbe gemacht wird.
Die Umformungen die man mit Gleichungen machen kann bei der die Lösungen der Gleichung sich nicht ändern nennt man Äquivalenzumformungen. Ziel fast aller Äquivalenzumformungen ist es die Gleichung einfacher zu machen.
Addition und Subtraktion
Man kann auf beiden Seiten einer Gleichung das selbe Addieren oder Subtrahieren, dies ändert die Lösung einer Gleichung nicht.
\begin{align}
3x + 7 &= 12 & | -7 \\
3x &= 5
\end{align}
oder auch
\begin{align}
20 &= 5x – 5 & | +5 \\
25 &= 5x
\end{align}
Wie Du siehst wurde die Gleichung in beiden Fällen einfacher.
Multiplikation und Division
Man kann auch beide Seiten der Gleichung durch die selbe Zahl teilen oder mit der selben Zahl multiplizieren.
\begin{align}
25 &= 5x & | \div 5 \\
5 &= x
\end{align}
oder auch
\begin{align}
12 &= -3x & | \cdot 5 \\
60 &= -15x
\end{align}
In diesem Fall wurde die Gleichung durch die Division einfacher, aber durch die Multiplikation schwieriger. Manche Äquivalenzumformungen sind also sinnvoll und andere sind es nicht.
Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen sind Gleichungen bei denen nur Zahlen und Terme mit x vorkommen, also insbesondere keine \(x^2\), \(sin(x)\), \(\sqrt{x}\) oder ähnliche. Um diese zu lösen kann man immer nach dem selben Prinzip vorgehen.
\begin{align}
25 – 3x &= 5x + 12 &|+3x & \text{ zunächst musst Du die x auf die eine Seite bringen}\\
25 &= 8x + 12 &|-12 & \text{ danach bringt man die Zahlen (ohne x) auf die andere Seite}\\
13 &= 8x &|\div 8 & \text{ als letztes musst Du durch die Zahl stehen die vor dem x steht}\\
\frac{13}{8} &= x
\end{align}
Dieses Vorgehen funktioniert für alle linearen Gleichungen.
Übe das Vorgehen an einigen Aufgaben: