Eine der wichtigsten Anwendungen für die Klammergesetze sind die binomischen Formeln, diese helfen uns Rechnungen die häufig vorkommen abzukürzen.
1. Binomische Formel
Die erste binomische Formel ist:
\begin{equation}
(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2
\end{equation}
Angewendet auf ein Beispiel:
\begin{equation}
(5x+12)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 12 + 12^2 = 25x^2 + 120 x+ 144
\end{equation}
Hierbei ist wichtig, dass die Summanden vollständig quadriert werden, also hier zum Beispiel $(5x)^2$ gerechnet wird.
2. Binomische Formel
Die zweite binomische Formel ist genau wie die erste, nur das anstelle des Pluses hier ein Minus steht.
Also:
\begin{equation}
(a-b)^2 = a^2 – 2 \cdot a \cdot b + b^2
\end{equation}
Hierbei ist zu beachten das auf der rechten Seite nur vor dem mittleren Term ein Minuszeichen steht.
Betrachten wir auch hier ein Beispiel:
\begin{equation}
(5x-6y)^2 = (5x)^2 – 2 \cdot 5x \cdot 6y + (6y)^2 = 25x^2 – 60 xy+ 36y^2
\end{equation}
3. Binomische Formel \newline
Die dritte binomische Formel ist:
\begin{equation}
(a+b)\cdot(a-b) = a^2 – b^2
\end{equation}
Diese kann zum Beispiel verwendet werden um Wurzelaufgaben zu lösen. (Diese Anwendung kannst Du ignorieren wenn Du in der 7. Klasse oder jünger bist und deshalb noch keine Wurzeln in der Schule hattest.
\begin{equation}
(\sqrt{5}+\sqrt{2})\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 – (\sqrt{2})^2 = 5 – 2 = 3
\end{equation}
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