Klammern

Die Kla-Po-Pu-Stri Merkregel 🙂

Bevor wir uns mit Klammern beschäftigen, hier noch eine kleine Erinnerung zu den verschiedenen Rechenarten.

Versuch Dir die Kla-Po-Pu-Stri-Regel zu merken.

Hierbei geht es um die Reihenfolge in der verschiedene Operationen ausgeführt werden. Als erstes werden die Klammern ausgewertet, dann die Potenzen, anschließend als drittes die Punktrechenarten (Multiplikation, Division) und zuletzt die Strichrechenarten (Addition, Subtraktion).

Hier zur Veranschaulichung schnell ein Beispiel.

\(5^{2}+(7\cdot3)/(9-2)\) zunächst die Klammern lösen
\(5^{2}+21/7\) dann die Potenzen
\(= 25+21/7\) als nächstes die Divisionen und Multiplikationen
\(= 25+3\) und zuletzt die Additionen und Subtraktionen
\(= 28 \)


 

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Ausmultiplizieren

Nachdem Du jetzt weißt wie Klammern grundsätzlich funktionieren, beschäftigen wir uns nun damit, was man mit Klammern so machen kann.

Eine der wichtigsten Anwendungen ist das Ausmultiplizieren. Dies wird genutzt, wenn in einer Klammer eine Addition steht und die ganze Klammer mit etwas multipliziert wird.

Es gilt:

\begin{equation}
a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
\end{equation}

In der Schule nennt man diese Rechenregel das Distributivgesetz.
 

Bei einem Zahlenbeispiel würde sich folgendes ergeben:

\begin{equation}
3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5
\end{equation}

 

Dies ist besonders nützlich, wenn in der Klammer keine Summen stehen, die einfach auszurechnen ist. Beispielsweise weil in der Klammer Variablen stehen. \newline

Ein Beispiel wäre hier:

\begin{equation}
x \cdot (x^2 + xy) = x \cdot x^2 + x \cdot xy = x^3 + x^2y
\end{equation}


 

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Ausklammern

Die Gegenrichtung von Ausmultiplizieren nennt man Ausklammern. Hierbei werden Klammern hinzugefügt.

Die Formel ist hier die Selbe wie beim Ausmultiplizieren nur andersherum.

Also:
\begin{equation}
a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)
\end{equation}

Hierbei ist es wichtig, das $a$ zweimal das Gleiche ist.

Betrachte das an einem Zahlenbeispiel:

\begin{equation}
5 \cdot 17 + 5 \cdot 13 = 5 \cdot (17 + 13)
\end{equation}


 

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