Achsenschnittpunkte und Nullstellen von Exponentialfunktionen

Wie alle Funktionsgraphen kann auch der einer Exponentialfunktion die Achsen des Koordinatensystems schneiden. Den Schnittpunkt mit der y-Achse nannten wir y-Achsenabschnitt und den mit der x-Achse Nullstelle. Im Falle von Exponentialpunktionen gibt es ein paar Besonderheiten. Keine Sorge, Du musst nicht wie bei den quadratischen Funktionen eine neue Formel auswendig lernen ;). Das besondere liegt eher daran, wie man die Funktionsgleichung nach dem „gleich Null stellen“ nach der gewünschten Variable umstellt. Wir erinnern uns, die Funktionsvariable befindet sich jetzt nämlich im Exponenten! Trotzdem ist das grundsätzliche Vorgehen das selbe wie immer, nämlich:

Für den y-Achsenabschnitt: Wir setzten x = 0 und berechnen den Funktionswert an der Stelle x = 0.
Für den x-Achsenabschnitt: Wir setzten f(x) = 0, damit erhalten wir die Gleichung 0 = Funktionsvorschrift und berechnen das x für das die Gleichung erfüllt wird.

Im Falle von konstanten, linearen und quadratischen Funktionen haben wir bereits geklärt wie viele Nullstellen sie haben können. Was glaubst Du, wie ist es bei Exponentialfunktionen. Erinnere dich an die Bilder der Funktionsgraphen zurück.

H5P Wie viele Nullstellen kann eine Exponentialfunktion maximal haben?
Wie viele Nullstellen kann eine Exponentialfunktion minimal haben?

Damit das eindeutig wird was schauen wir uns die Form der Gleichung nochmal genau an. Es ist wichtig sich zu merken was an den Punkten gilt, an denen es so scheint als würde der Funktionsgraph einen konstanten Wert annehmen.

H5P Hotspot, Asymptote erreicht Wert nie usw.

Wir halten noch einmal fest, eine Exponentialfunktion hat entweder keinen oder höchstens einen x- oder y-Achsenabschnitt!

Schauen wir uns jetzt an wie wir diese berechnen können. Das Vorgehen ist wie immer gleich, Du wirst sehen dass es manchmal ganz schnell geht wenn die Funktionsgleichung schon in einer bestimmten Form Vorliegt.

Fangen wir mit dem x-Achsenabschnitt, also der Nullstelle an. Ganz allgemein setzten wir f(x) = 0 und erhalten ganz allgemein die Gleichung:
$$ 0 = ab^(cx-d) + e $$
Ab hier muss dann nur noch das x bestimmt werden (allgemein die Funktionsvariable, hier x). Das Umstellen nach x ist etwas kompliziert. Erinnerst du dich noch an die Rechenregeln mit Logarithmen? Falls nicht ist hier eine nochmal eine kurze Übersicht:

Bild mit Rechenregeln:

Wenden wir alle Rechenregeln richtig an kommen wir zu folgender Lösungsformel für x:

Bild von Lösungsformel

Diese könnten wir jetzt auswendig lernen und einfach die Werte einsetzten. So leicht ist es aber in den aller meisten Fällen nicht. Die Ergebnisse die hier herauskommen können, können wir ohne einen Taschenrechner oder Computer oft nicht berechnen. Wir wollen uns deshalb anschauen wie wir mit cleverem hinschauen, rechnen und überlegen einfacher zu einem Ergebnis kommen, auch ohne einen Taschenrechner zu benutzen. Dabei kommt es besonders darauf an in welcher Form die Funktionsgleichung vorliegt. Oft ist diese nämlich wesentlich einfacher als es die allgemeine Form vorerst den Anschein macht.

Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktionen muss nämlich eine bestimmte Bedingung erfüllen um überhaupt eine Nullstelle zu besitzen.

Eine Exponentialfunktion der Form f(x) = ab^{cx-d} hat nämlich gar keine Nullstelle! Es Existiert keine Zahl x die die Gleichung 0 = ab^{cx-d} lösen könnte!

Damit eine Exponentialfunktion eine Nullstelle hat, muss diese nach oben oder unten verschoben sein und passend dazu ansteigen oder abfallen.

H5P: Hat eine Exponentialfunktion die nach oben verschoben ist und a und Einfluss und so weiter

Wir wollen hierzu mal ein Beispiel anschauen.

Gegeben ist die Funktion f(x) = 2^x – 3.
Gesucht ist Die Nullstelle N.

1. Funktion gleich 0 setzten:

$$ f(x) = 0 \quad => \quad 0 = 2^x – 3 $$

2. Gleichung 0 = 2^x – 3 nach x auflösen bzw. das x bestimmen das die Gleichung erfüllt.

$$ 0 = 2^x – 3 \quad \quad \quad \vert +3 $$
$$ 3 = 2^x \quad \quad \quad \vert log() $$
$$ log(3) = x \cdot log(2) \quad \quad \quad \vert :log(2) $$
$$ x = \frac{log(3)}{log(2)} $$

Die Zahl log(3)/log(2) ist eine unendlich lange Kommazahl deshalb können wir sie nicht genauer angeben als so wie wir es mit dem Bruch log(2)/log(3) tun können.

3. Ergebnis bzw Nullstelle angeben:

Die Nullstelle lautet $$ N(\frac{log(3)}{log(2)},0) $$

Jetzt bist du an der Reihe.

H5p: Berechne die x-Koordinate der Nullstelle der folgenden Exponentialfunktion:

Wir haben bereits erwähnt, dass es Regeln gibt die bestimmen ob eine Exponentialfunktion überhaupt eine Nullstelle hat. In Worten lautet diese wie folgt:

Damit eine Exponentialfunktion eine Nullstelle hat muss sie entweder entlang der y-Achse nach unten verschoben sein und einen positiven Zuwachs haben oder entlang der y-Achse nach oben verschoben sein und einen negativen Zuwachs haben.

Vereinfacht gesagt, entweder sie ist nach oben verschoben und fällt von der Asymptote aus ab oder sie ist nach unten verschoben und steigt von der Asymptote aus gesehen an. Ob die Funktion von links nach rechts oder von rechts nach links verläuft ist dabei egal.

Das ganze lässt sich sogar noch kürzer zusammenfassen. Ob die Funktion nach oben oder unten verschoben ist hängt schließlich vom Vorzeichen des Faktors e ab. Weiter hängt vom Vorzeichen des Faktors a ab ob die Funktion abfällt oder ansteigt. Das bedeutet, wenn die Vorzeichen von a und e verschieden sind gibt es eine Nullstelle und wenn sie gleich sind gibt es keine!

Beispielfunktionen die schön aufgehen: f(x) = -3^(2x-1)+3 , 0 = 3^(2x-1) – 4 , 0 = -2*3^(2x-1) + 4, 0 = -3*2^(-2x-1) + 4

Kommen wir jetzt zum y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt berechnet sich bekanntlich wie folgt:

1. Wir setzten x = 0 (Vorausgesetzt die Funktionsvariable heißt x, genau genommen müssten wir sagen wir setzten die Funktionsvariable gleich Null)
2. Wir berechnen f(x) (Vorausgesetzt die Funktion heißt f und die Funktionsvariable heißt x)

Eigentlich ganz einfach oder!? Versuch doch einfach direkt einmal die y-Achsenabschnitt von zwei Funktionen zu berechnen.

H5P: Berechne y-Achsenabschnitt klassisch

Auch für den y-Achsenabschnitt gibt es eine einfache Regel ob es einen y-Achsenabschnitt gibt oder nicht. Solange die Definitionsmenge der Funktion einer der ganzen Zahlenmengen Z, Q oder R also alle Zahlenmengen die unendlich viele positive wie negative Zahlen in sich haben gilt:

H5P Bild Jede Exponentialfunktion hat immer genau einen y-Achsenabschnitt!

Geht es um den y-Achsenabschnitt, gibt es noch einen sehr nützlichen Tipp. Der y-Achsenabschnitt aller Exponentialfunktionen ist tatsächlich unter einer Bedingung immer der selbe! Handelt es sich um Exponentialfunktionen der Form:
$$ f(x) = ab^{cx} $$
bei denen d = 0 und e = 0 ist, ist der y-Achsenabschnitt immer gleich dem Faktor a. Das gilt für alle Exponentialfunktionen die nicht in irgend eine Richtung verschoben sind. Da die Verschiebung in y-Richtung durch e gegeben ist und die in x-Richtung durch d, müssen dafür d und e gleich Null sein.

H5P: Hast du eine Vermutung welche y-Koordinate alle Exponentialfunktionen haben die keinen Vorfaktor vor der Basis haben und nicht in x- oder y-Richtung verschoben sind? Wie könnte die y-Koordinate des y-Achsenabschnittes lauten?

Das solltest du dir auf jeden Fall merken. Eine Exponentialfunktion die nicht in irgend eine Richtung, also entweder in x- oder y-Richtung verschoben ist, hat immer den y-Achsenabschnitt bei Y(0,a)! Ist keine bestimmte Zahl vor der Basis, ist a = 1 und wurde nicht dazugeschrieben, da 1*b^{cx} = b^{cx} ist.
Doch warum ist das so? Das liegt daran, dass egal welche Zahl, die in ihrem Exponenten die Zahl 0 stehen hat, gleich 1 ist. Anders gesagt, jede Zahl hoch Null ist gleich 1, oder für alle Zahlen b gilt: $$ b^0 = 1 $$.
Welchen Wert c hat ist dabei egal, denn wenn x ja gleich 0 ist ist c mal 0 auch Null.

Jetzt wissen wir, dass eine unverschobene Exponentialfunktion immer den y-Achsenabschnitt (0,a) hat. Was bedeutet das für eine auf der y-Achse verschobene Funktion? Ganz einfach, die y-Koordinate des Achsenschnittpunktes ist dann einfach a + e. Sie ist schließlich sowieso schon immer gleich a und dann kommt die Verschiebung nach oben oder unten noch hinzu. Achtung, wenn e negativ ist, müssen wir minus anstatt plus rechnen.

H5P Quizz y-Achsenabschnitt aus Funktionsgleichung ablesen.

Wo der y-Achsenabschnitt liegt wenn die Funktion zusätzlich in x-Richtung verschoben ist, können wir auch ausrechnen. Mit Hilfe der Potenzgesetze lässt sich die Verschiebung in x-Richtung zu einem neuen Vorfaktor a‘ Umrechnen. Der y-Achsenabschnitt berechnet sich danach gleich wie bei einer in x-Richtung Unverschobenen Funktion mit
$$y_0 = a‘ + e $$.
Das Potenzgesetz das hier zum EInsatz kommt ist folgendes:
$$ a^{x+y} = a^x \cdot a^y $$
Wir machen ein kurzes Beispiel. Wir wollen die y-Koordinate y_0 des y-Achsenabschnittes der Funktion
$$ f(x) = -4 \cdot 0.5^(-2*x+2)+5 $$
berechnen. Offensichtlich ist die Funktion um 2 Einheiten nach rechts entlang der x-Achse verschoben. Um die y-Achse zu berechnen gehen wir wie folgt vor:
$$ f(x) = -4 \cdot 0.5^{-2*x+2}+5 \quad \guad \quad \vert 0.5^{-2*x+2} = 0.5^{-2x} \cdot 0.5^2 $$
$$ f(x) = -4 \cdot 0.5^{-2*x} \cdot 0.5^{2}+5 $$
$$ f(x) = -4 \cdot 0.5^{2} \cdot 0.5^{-2*x} +5 $$
$$ f(x) = -4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 0.5^{-2*x} +5 $$
$$ f(x) = -1 \cdot 0.5^{-2*x} +5 $$
Das heißt, der neue Vorfaktor lautet a‘ = -1. Somit ergibt sich für die y-Koordinate des y-Achsenabschnittes:
$$ y_0 = a‘ + e = -1 + 5 = 4$$
Der y-Achsenabschnitt lautet also Y(0,4).
Das dieser Trick funktioniert bedeutet, dass die beiden Funktionsgleichungen
$$ f(x) = -1 \cdot 0.5^{-2*x} +5 \quad und \quad f(x) = -4 \cdot 0.5^(-2*x+2)+5 $$
zwei unterschiedliche Schreibweisen für die selbe Funktion sind. Dieser Trick für in x-Richtung verschobene Funktionen funktioniert immer!

Die beiden Regeln zu unverschobenen Exponentialfunktionen sollten wir uns am Ende dieses Kapitels auf jeden Fall merken. Sie gelten nur für Exponentialfunktionen die weder in x-Richtung noch in y-Richtung verschoben sind.

1. Ist die Exponentialfunktion nicht in y-Richtung verschoben, hat sie keine Nullstellen (x-Achsenabschnitt)
2. Ist die Exponentialfunktion nicht in x- und y-Richtung verschoben, hat sie den y-Achsenabschnitt Y(0,a)

H5P Quizz zu den beiden regeln

H5p: Abschlusstext