Wir haben bereits gelernt was die verschieden Parameter in der Funktionsgleichung von Exponentialfunktionen bewirken. Dieses Wissen ist sehr nützlich wenn es darum geht eine Exponentialfunktion zu zeichnen. Wie bereits bei den anderen anderen Arten von Funktionen ist es am einfachsten die Exponentialfunktion zu zeichnen, wenn diese in einer bestimmten Form vorliegt. Wir kennen im Falle von Exponentialfunktionen bisher nur eine besondere FOrm, die Standardform. Genau in dieser sollte die Exponentialfunktion vorliegen wenn wir sie zeichnen wollen.
Um eine Exponentialfunktion in ihre Normalform zu bringen wenn diese noch nicht in der Normalform vorliegt, ist es wichtig die Potenzrechengesetzte richtig anzuwenden. Dazu wollen wir eine kleine Übungsaufgabe zur Wiederholung machen. Wenn du dir bei einer Umformung nicht sicher bist, schau im ersten Kapitel dieses Abschnittes noch einmal nach, was die Potenzrechengesetzte nochmal genau waren.
H5P: Umformen zu Normalform
Du siehst also, es gibt manchmal nicht nur eine Möglichkeit eine Exponentialfunktion in ihrer Standardform anzugeben. Die Funktionsgraphen zweier möglicher Varianten einer Exponentialfunktion sehen natürlich genau gleich aus! Es handelt sich schließlich um die selbe Funktion!
Du wirst außerdem sehen, dass je einfacher die Funktionsgleichung, desto einfacher wird es den Funktionsgraphen zu zeichnen. Wir fangen deshalb mit der einfachsten Form einer Exponentialfunktion an und werden mit der Zeit immer mehr Parameter dazunehmen die das Schaubild der Funktion beeinflussen.
Die einfachste Form einer Exponentialgleichung ist:
$$ f(x) = b^x $$
Um eine Exponentialfunktion dieser Art zu zeichnen müssen wir natürlich den Wert für die Basis b kennen. Wir erinnern uns, b darf nicht negativ sein und noch wichtiger hier, es hat einen großen Unterschied gemacht ob b größer oder kleiner als 1 ist! Schauen wir uns folgende Bilder einmal an.
Wenn du dir dieses Bild ansiehst können wir uns schon vorstellen wie eine Funktion grob zu zeichnen ist. Zwei Punkte sind uns bekannt durch die wir unsere Linie ziehen müssen. Der y-Achsenabschnitt bei Y(0,1) und der Punkt (1,b) der bei x = 1 auf dem Wert der y-Achse liegt der der Basis b entspricht.
Im nächsten Bild schauen wir uns an wie es aussieht wenn die Basis b kleiner ist als 1.
Die folgenden Dinge sollten dir jetzt klar sein:
1. die Asymptote, also der Startwert liegt bei dieser einfachen form immer bei dem Wert 0.
2. Je höher die Basis über dem Wert 1 liegt desto schneller wächst die Funktion. (links unten nach rechts oben)
3. Je weiter die Basis an dem Wert 0 liegt und kleiner als 1 ist fällt die Funktion schneller. (rechts oben nach links unten)
Mit diesem Wissen kannst du jetzt schon Exponentialfunktionen der Form $$ f(x) = b^x $$ zeichnen. Ziehe die Line einfach durch die beiden Punkte die du sicher kennst. Möchtest Du den Verlauf noch genauer Zeichnen kannst Du wie bei allen Funktion auch noch eine Wertetabelle erstellen um weiter Punkte zu ermitteln.
Was passiert wenn der Parabeter c nicht positiv also c = 1 ist, sondern c = -1?
Ist c = -1 hat das den selben Effekt wie wenn die Basis durch ihren Kehrwert ersetzt wird. Das bedeutet:
$$ f(x) = b^x = \right( \frac{1}{b} \left)^-x $$
Wird das Vorzeichen von c gedreht wird die Funktion an der y-Achse gespiegelt, genau so wie wenn die Basis b durch ihren Kehrwert ersetzt wird. Ist die Basis b zum Beispiel b = 3 wird die Funktion gespiegelt wenn die Basis zu 1/3 gewechselt wird. Das gleiche passiert wenn das Vorzeichen von c geändert wird.
Als kleines Beispiel siehst du hier, dass wenn wir zwei mal spiegeln, also einmal den Kehrwert der Basis einsetzten und das Vorzeichen von c umdrehen, Du wieder die selbe FUnktion erhältst.
$f(x) = 3^x = \right( \frac{1}{3} \left)^-x $$
Als nächstes Schauen wir uns an wie wir mit zwei bekannten Punkten eine Exponentialfunktion der Art $$ f(x) = b^x + e $$ zeichnen kannst.
Die Technik mit der wir zwei Punkte bestimmen konnten, durch die unsere Funktion sicher verläuft und die wir zum Zeichnen benutzen können ist immer noch die selbe. Der Unterschied ist nur, dass wir dem Wert von ‚e‘ entsprechend, das Abzählen der Schritte entlang der y-Achse anpassen müssen. Das gilt auch für den y-Achsenabschnitt!
Das selbe funktioniert natürlich auch mit Funktionen die gespiegelt sind, bei denen also c = -1 oder die Basis b niedriger als 1 ist und von links oben nach rechts unten verlaufen.
